Fraktal Nedir ve Fraktal Örnekleri

Matematik özellikle geometri 20 yüzyıla gelene kadar Öklid geometrisinde tanımlanan kavramları kullandı; doğrular, düzlemler, üçgenler… Ama gerçek hayatta bulutlar küresel, dağlar konik, göller de eliptik değil. Doğayı daha iyi anlamak ve modellemek için yeni bir geometriye gereksinim vardı. İşte bu da fraktal geometriydi.

Bilim & Teknoloji 12.11.2019, 11:30 12.11.2019, 14:54
Fraktal Nedir ve Fraktal Örnekleri

Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş veya büyütülmüş modelleriyle inşa edilen örüntülere fraktal adı verilir. Halı veya kilim desenlerini, pisagor ağacını fraktallara örnek verebiliriz. Bir cismi oluşturan parçalar ya da bileşenlerin cismin tamamına benzemesi matematikte “fraktal” olarak adlandırılır. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde tekrarlanır. Öyle ki bütünün her bir parçası büyütüldüğünde yine cismin bütününe benzer. Fraktal terimi parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Latince “fractus” sözcüğünden türetilmiştir. 

İÇİNDEKİLER

  1. Fraktal Nedir
  2. Fraktal Boyut
  3. Fraktal İlk Hangi Tarihte Ve Kim Tarafından Bulundu
  4. Teorinin Gelişimi
  5. Fraktal Nerelerde Kullanılır
  6. Fraktal Nasıl Oluşturulur
  7. Fraktallar ve Örüntüler Arasındaki Fark ve İlişkiler
  8. Fraktal Örnekleri
  9. Fraktal Soruları Nasıl Çözülür
  10. Fraktal Görselleri

FRAKTAL NEDİR?
Fraktal; matematikte, çoğunlukla kendine benzeme veya oransal kırılma özelliği gösteren karmaşık geometrik şekillerin ortak adıdır. Fraktallar, klasik, yani Öklid (Euklides) geometrideki kare, daire, küre gibi basit şekillerden çok farklıdır. Bunlar doğadaki, Öklid'çi geometri aracılığıyla tanımlanamayacak pek çok uzamsal açıdan düzensiz olguyu ve düzensiz biçimi tanımlama yeteneğine sahiptir. Fraktal terimi parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Latince "fractus" sözcüğünden türetilmiştir. İlk olarak 1975'te Polonya asıllı matematikçi Benoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılan kavram, yalnızca matematik değil fiziksel kimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etkiler yaratan yeni bir geometri sisteminin doğmasına yol açmıştır.

Yukarıda: Sierpinski üçgeni; mutlak surette simetrik bir fraktal.

Tüm fraktallar kendine benzer ya da en azından tümüyle kendine benzer olmamakla birlikte, çoğu bu özelliği taşır. Kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününe benzer. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza değin sürebilir; öyle ki,her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzer. Bu fraktal olgusu, kar tanesi ve ağaç kabuğunda kolayca gözlenebilir. Bu tip tüm doğal fraktallar ile matematiksel olarak kendine benzer olan bazıları, stokastik (olasılıksal) yani rastgeledir; bu nedenle ancak istatistiksel olarak ölçeklenirler. Fraktal cisimler, düzensiz biçimli olduklarından ötürü Öklid'çi şekilleri ötelemezler. (Öteleme bakışına sahip bir cisim kendi çevresinde döndürüldüğünde görünümü aynı kalır.)

FRAKTAL BOYUT
Fraktalların belirleyici bir özelliği, fraktal boyut olarak adlandırılan matematiksel bir parametrelerinin olmasıdır. Bu parametrenin bütünüyle geçerli ve basit bir tanımı yoktur. Mandelbrot bu parametreyi Haussdorf boyutu ile denk tutmaktadır. Fraktal boyut, Öklid'çi şekillerin topolojik boyutlarına eşit, fraktallar için topolojik boyutlarından büyüktür. Örneğin Cantor kümesinin fraktal boyutu D=log2/log3 0.6309>0, topolojik boyutu ise DT=0'dır.:14-15

Yukarıda: Bir fraktalı giderek yakınlaşarak izleyen bir animasyon. Simetriye dikkat ediniz.

Kendisinin tam bir kopyasını daha küçük boyutlarda içeren fraktallar için fraktal boyutu ve kendine benzerlik boyutu değerleri aynıdır. Bir şekil kendisine benzeyen (n) kadar kopyadan oluşuyor ve her bir kopya özgün şekle göre, uzunluk olarak, (1/m) büyüklüğünde ise, bu şeklin kendine benzeme boyutu (log n/log m) ile verilir. Yukarıda örnek olarak verilen Sierpinski üçgeni, kendine benzeyen n=3 kopyadan oluşmuş, her bir kopya da özgün şeklin yarısı (m=2) uzunluğundadır; dolayısıyla Sierpinski üçgenin fraktal boyutu (D=log3/log2 1.585)'tir.

FRAKTAL İLK HANGİ TARİHTE VE KİM TARAFINDAN BULUNDU?
İlk olarak 1975’te Polonya asıllı matematikçi Beneoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılan fraktal kavramı, yalnızca matematik değil fizikokimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etki-ler meydana getiren yeni bir geometri sisteminin doğmasına yol açmıştır.


TEORİNİN GELİŞİMİ
Benoit Mandelbrot, IBM laboratuvarlarında çalışmaya başladığında Oyun kuramı, iktisat ve emtia fiyatları gibi çeşitli alanlarda çalışan bir mühendisti. Bu çalışmalarını tamamladığında veri iletim hatlarındaki gürültü üzerinde çalışmaya başladı. Mühendisler, veri aktarımı sırasında oluşan gürültü karşısında çaresiz kalmışlardı. Mühendislerin bu soruna bulabildikleri en iyi çare, sinyal gücünü arttırmaktan ileri gidememişti; ama sinyal gücünün arttırılması da tam bir çözüm sağlamamıştır. İletim hatlarındaki gürültü doğası gereği gelişigüzel olmasına rağmen kümeler halinde gelmekteydi. İletişim süresi boyunca hatasız periyotlar arasında hatalı periyotlar yer almaktaydı. Hatalı periyotların incelenmesi, hata paterninin sanıldığından daha karmaşık olduğunu ortaya koymuştur. Mandelbrot, bir günlük veri trafiğini birer saatlik periyotlara ayırdı. Daha sonra, hatanın gözlendiği periyotları ele alıp bu periyotlar yirmişer dakikalık parçalara böldü ve yine gördü ki, bu birer saatlik periyotların içinde de yine hatasız bölümler bulunmaktaydı. Mandelbrot, hatalı bölümler daha kısa zaman aralıklarına bölmeye devam etti. Ve sonunda hatasız periyotların halen var olduğunu gösterdi. Bu arada aykırı bir durum Mandelbrot'un dikkatini çekti: hatalı periyotların hatasız periyotlara oranı periyodun uzunluğundan bağımsız olarak neredeyse sabit kalıyordu.

FRAKTAL NERELERDE KULLANILIR?
Kendine benzerlik ve tamsayı olmayan boyutlu kavramlarıyla birlikte fraktal geometri, istatistiksel mekanikte, özellikle görünürde  rastgele özelliklerden oluşan fiziksel sistemlerin incelenmesinde giderek daha yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. Örneğin, gökada kümelerinin evrendeki dağılımının saptanmasında ve akışkan burgaçlanmalarına ilişkin problemlerin çözülmesinde fraktal benzetimlerden (simülasyon) yararlanılmaktadır. Fraktal geometri bilgisayar grafiklerinde de yararlı olmaktadır. Fraktal algoritma ise, engebeli dağlık araziler ya da ağaçların karışık dal sistemleri gibi karmaşık, çok düzensiz doğal cisimlerin gerçektekine benzer görüntülerinin oluşturulabilmesini olanaklı kılmıştır.

FRAKTAL NASIL OLUŞTURULUR?
Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş ya da büyütülmüşleri ile inşa edilen örüntüler fraktal olarak adlandırılır. Fraktalın bir özelliği de, küçük bir parçasındaki örüntünün şeklin tamamındaki örüntüyle aynı olmasıdır.

Fraktallar ve Örüntüler Arasındaki Fark

Fraktal ve örüntü arasındaki ilişki şöyledir:

Her fraktal bir örüntüdür ancak her örüntü bir fraktal değildir.

Bir örüntünün fraktal olabilmesi için:

  1. Öncelikle örüntü olabilmesi için bir kurala göre ilerlemesi gerekir.
  2. Örüntünün büyümesi veya küçülmesi gerekir.
  3. Bir önceki şekli içinde barındırması gerekir.

FRAKTAL ÖRNEKLERİ
Şimdi hangi örüntülerin niçin fraktal olduğunu veya neden fraktal olmadığını örnek resimlerle inceleyelim.

ÖRNEK 1: Aşağıdaki şekilde K harfi %50 küçültülerek şekle eklenmiş ve bir fraktal oluşturulmuştur. Dikkat edilirse her adım bir önceki adımı içinde barındırmaktadır.

ÖRNEK 2 : Aşağıdaki örüntüde eşkenar üçgen küçültülerek yeni adımlar oluşturulmuştur. Bu örüntü de bir fraktaldır.

ÖRNEK 3 : Aşağıdaki şekiller belirli bir kurala göre dizildikleri için örüntüdür ancak fraktal olabilmesi için aynı şeklin büyültülmüşü veya küçültülmüşü kullanılması gerekir. Bu yüzden bu örüntü fraktal değildir.

ÖRNEK 4 : Aşağıdaki şekiller belirli bir kurala göre dizildikleri için örüntüdür ancak fraktal olabilmesi için aynı şeklin büyültülmüşü veya küçültülmüşü kullanılması gerekir. Bu yüzden bu örüntü fraktal değildir.

FRAKTAL SORULARI NASIL ÇÖZÜLÜR?
Fraktal soruları genelde iki şekilde sorulur:

1. Soru Tipi: Örüntülerin fraktal olup olmadığı sorulur. Bu sorularda dikkat edilmesi gereken şeklin büyütülmüş veya küçültülmüşünün kullanılması ve örüntünün bir adımının bir önceki adımını içeriyor olmasıdır.

2. Soru Tipi: Fraktalın herhangi bir adımında kullanılan şekil sayısı sorulur. Bu tip sorularda ise kullanılan şekilleri tek tek saymaktan ziyade bir önceki şekile göre ne kadar arttığını bulmak kolaylık sağlar. Bu şekilde bir sayı örüntüsü yakalanabilir. Örnek verecek olursak yukarıdaki K harfi fraktal sorusuna bakalım.

1. Adım: 1

2. Adım: 1+2

3. Adım: 1+2+4

3. Adım: 1+2+4+8

Buradan her adımda 2’nin kuvvetleri şeklinde arttığını görürüz.

FRAKTAL RESİMLERİ İÇİN TIKLAYINIZ!

Fraktallar sadece geometride oluşturduğumuz şekiller değildir. Doğada da fraktal örnekleri mevcuttur.



Yorumlar (2)
Halis 6 yıl önce
Çok ilginç bilmiyordum...
Gülten 3 yıl önce
Bu tür görselleri görüyordum ama Fraktal dendiğini ilk defa duydum.
22
sisli
Günün Anketi Tümü
En Çok Sevdiğiniz Renk Hangisi?
Namaz Vakti 25 Haziran 2021
İmsak 03:25
Güneş 05:26
Öğle 13:12
İkindi 17:12
Akşam 20:47
Yatsı 22:39
Puan Durumu
Takımlar O P
1. Beşiktaş 40 84
2. Galatasaray 40 84
3. Fenerbahçe 40 82
4. Trabzonspor 40 71
5. Sivasspor 40 65
6. Hatayspor 40 61
7. Alanyaspor 40 60
8. Karagümrük 40 60
9. Gaziantep FK 40 58
10. Göztepe 40 51
11. Konyaspor 40 50
12. Başakşehir 40 48
13. Rizespor 40 48
14. Kasımpaşa 40 46
15. Malatyaspor 40 45
16. Antalyaspor 40 44
17. Kayserispor 40 41
18. Erzurumspor 40 40
19. Ankaragücü 40 38
20. Gençlerbirliği 40 38
21. Denizlispor 40 28
Takımlar O P
1. Adana Demirspor 34 70
2. Giresunspor 34 70
3. Samsunspor 34 70
4. İstanbulspor 34 64
5. Altay 34 63
6. Altınordu 34 60
7. Ankara Keçiörengücü 34 58
8. Ümraniye 34 51
9. Tuzlaspor 34 47
10. Bursaspor 34 46
11. Bandırmaspor 34 42
12. Boluspor 34 42
13. Balıkesirspor 34 35
14. Adanaspor 34 34
15. Menemenspor 34 34
16. Akhisar Bld.Spor 34 30
17. Ankaraspor 34 26
18. Eskişehirspor 34 8
Takımlar O P
1. Man City 38 86
2. M. United 38 74
3. Liverpool 38 69
4. Chelsea 38 67
5. Leicester City 38 66
6. West Ham 38 65
7. Tottenham 38 62
8. Arsenal 38 61
9. Leeds United 38 59
10. Everton 38 59
11. Aston Villa 38 55
12. Newcastle 38 45
13. Wolverhampton 38 45
14. Crystal Palace 38 44
15. Southampton 38 43
16. Brighton 38 41
17. Burnley 38 39
18. Fulham 38 28
19. West Bromwich 38 26
20. Sheffield United 38 23
Takımlar O P
1. Atletico Madrid 38 86
2. Real Madrid 38 84
3. Barcelona 38 79
4. Sevilla 38 77
5. Real Sociedad 38 62
6. Real Betis 38 61
7. Villarreal 38 58
8. Celta de Vigo 38 53
9. Granada 38 46
10. Athletic Bilbao 38 46
11. Osasuna 38 44
12. Cádiz 38 44
13. Valencia 38 43
14. Levante 38 41
15. Getafe 38 38
16. Deportivo Alaves 38 38
17. Elche 38 36
18. Huesca 38 34
19. Real Valladolid 38 31
20. Eibar 38 30