Fraktal Nedir ve Fraktal Örnekleri

Matematik özellikle geometri 20 yüzyıla gelene kadar Öklid geometrisinde tanımlanan kavramları kullandı; doğrular, düzlemler, üçgenler… Ama gerçek hayatta bulutlar küresel, dağlar konik, göller de eliptik değil. Doğayı daha iyi anlamak ve modellemek için yeni bir geometriye gereksinim vardı. İşte bu da fraktal geometriydi.

Bilim & Teknoloji 12.11.2019, 11:30 12.11.2019, 14:54
57250
Fraktal Nedir ve Fraktal Örnekleri

Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş veya büyütülmüş modelleriyle inşa edilen örüntülere fraktal adı verilir. Halı veya kilim desenlerini, pisagor ağacını fraktallara örnek verebiliriz. Bir cismi oluşturan parçalar ya da bileşenlerin cismin tamamına benzemesi matematikte “fraktal” olarak adlandırılır. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde tekrarlanır. Öyle ki bütünün her bir parçası büyütüldüğünde yine cismin bütününe benzer. Fraktal terimi parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Latince “fractus” sözcüğünden türetilmiştir. 

İÇİNDEKİLER

  1. Fraktal Nedir
  2. Fraktal Boyut
  3. Fraktal İlk Hangi Tarihte Ve Kim Tarafından Bulundu
  4. Teorinin Gelişimi
  5. Fraktal Nerelerde Kullanılır
  6. Fraktal Nasıl Oluşturulur
  7. Fraktallar ve Örüntüler Arasındaki Fark ve İlişkiler
  8. Fraktal Örnekleri
  9. Fraktal Soruları Nasıl Çözülür
  10. Fraktal Görselleri

FRAKTAL NEDİR?
Fraktal; matematikte, çoğunlukla kendine benzeme veya oransal kırılma özelliği gösteren karmaşık geometrik şekillerin ortak adıdır. Fraktallar, klasik, yani Öklid (Euklides) geometrideki kare, daire, küre gibi basit şekillerden çok farklıdır. Bunlar doğadaki, Öklid'çi geometri aracılığıyla tanımlanamayacak pek çok uzamsal açıdan düzensiz olguyu ve düzensiz biçimi tanımlama yeteneğine sahiptir. Fraktal terimi parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Latince "fractus" sözcüğünden türetilmiştir. İlk olarak 1975'te Polonya asıllı matematikçi Benoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılan kavram, yalnızca matematik değil fiziksel kimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etkiler yaratan yeni bir geometri sisteminin doğmasına yol açmıştır.

Yukarıda: Sierpinski üçgeni; mutlak surette simetrik bir fraktal.

Tüm fraktallar kendine benzer ya da en azından tümüyle kendine benzer olmamakla birlikte, çoğu bu özelliği taşır. Kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününe benzer. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza değin sürebilir; öyle ki,her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzer. Bu fraktal olgusu, kar tanesi ve ağaç kabuğunda kolayca gözlenebilir. Bu tip tüm doğal fraktallar ile matematiksel olarak kendine benzer olan bazıları, stokastik (olasılıksal) yani rastgeledir; bu nedenle ancak istatistiksel olarak ölçeklenirler. Fraktal cisimler, düzensiz biçimli olduklarından ötürü Öklid'çi şekilleri ötelemezler. (Öteleme bakışına sahip bir cisim kendi çevresinde döndürüldüğünde görünümü aynı kalır.)

FRAKTAL BOYUT
Fraktalların belirleyici bir özelliği, fraktal boyut olarak adlandırılan matematiksel bir parametrelerinin olmasıdır. Bu parametrenin bütünüyle geçerli ve basit bir tanımı yoktur. Mandelbrot bu parametreyi Haussdorf boyutu ile denk tutmaktadır. Fraktal boyut, Öklid'çi şekillerin topolojik boyutlarına eşit, fraktallar için topolojik boyutlarından büyüktür. Örneğin Cantor kümesinin fraktal boyutu D=log2/log3 0.6309>0, topolojik boyutu ise DT=0'dır.:14-15

Yukarıda: Bir fraktalı giderek yakınlaşarak izleyen bir animasyon. Simetriye dikkat ediniz.

Kendisinin tam bir kopyasını daha küçük boyutlarda içeren fraktallar için fraktal boyutu ve kendine benzerlik boyutu değerleri aynıdır. Bir şekil kendisine benzeyen (n) kadar kopyadan oluşuyor ve her bir kopya özgün şekle göre, uzunluk olarak, (1/m) büyüklüğünde ise, bu şeklin kendine benzeme boyutu (log n/log m) ile verilir. Yukarıda örnek olarak verilen Sierpinski üçgeni, kendine benzeyen n=3 kopyadan oluşmuş, her bir kopya da özgün şeklin yarısı (m=2) uzunluğundadır; dolayısıyla Sierpinski üçgenin fraktal boyutu (D=log3/log2 1.585)'tir.

FRAKTAL İLK HANGİ TARİHTE VE KİM TARAFINDAN BULUNDU?
İlk olarak 1975’te Polonya asıllı matematikçi Beneoit B. Mandelbrot tarafından ortaya atılan fraktal kavramı, yalnızca matematik değil fizikokimya, fizyoloji ve akışkanlar mekaniği gibi değişik alanlar üzerinde önemli etki-ler meydana getiren yeni bir geometri sisteminin doğmasına yol açmıştır.


TEORİNİN GELİŞİMİ
Benoit Mandelbrot, IBM laboratuvarlarında çalışmaya başladığında Oyun kuramı, iktisat ve emtia fiyatları gibi çeşitli alanlarda çalışan bir mühendisti. Bu çalışmalarını tamamladığında veri iletim hatlarındaki gürültü üzerinde çalışmaya başladı. Mühendisler, veri aktarımı sırasında oluşan gürültü karşısında çaresiz kalmışlardı. Mühendislerin bu soruna bulabildikleri en iyi çare, sinyal gücünü arttırmaktan ileri gidememişti; ama sinyal gücünün arttırılması da tam bir çözüm sağlamamıştır. İletim hatlarındaki gürültü doğası gereği gelişigüzel olmasına rağmen kümeler halinde gelmekteydi. İletişim süresi boyunca hatasız periyotlar arasında hatalı periyotlar yer almaktaydı. Hatalı periyotların incelenmesi, hata paterninin sanıldığından daha karmaşık olduğunu ortaya koymuştur. Mandelbrot, bir günlük veri trafiğini birer saatlik periyotlara ayırdı. Daha sonra, hatanın gözlendiği periyotları ele alıp bu periyotlar yirmişer dakikalık parçalara böldü ve yine gördü ki, bu birer saatlik periyotların içinde de yine hatasız bölümler bulunmaktaydı. Mandelbrot, hatalı bölümler daha kısa zaman aralıklarına bölmeye devam etti. Ve sonunda hatasız periyotların halen var olduğunu gösterdi. Bu arada aykırı bir durum Mandelbrot'un dikkatini çekti: hatalı periyotların hatasız periyotlara oranı periyodun uzunluğundan bağımsız olarak neredeyse sabit kalıyordu.

FRAKTAL NERELERDE KULLANILIR?
Kendine benzerlik ve tamsayı olmayan boyutlu kavramlarıyla birlikte fraktal geometri, istatistiksel mekanikte, özellikle görünürde  rastgele özelliklerden oluşan fiziksel sistemlerin incelenmesinde giderek daha yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. Örneğin, gökada kümelerinin evrendeki dağılımının saptanmasında ve akışkan burgaçlanmalarına ilişkin problemlerin çözülmesinde fraktal benzetimlerden (simülasyon) yararlanılmaktadır. Fraktal geometri bilgisayar grafiklerinde de yararlı olmaktadır. Fraktal algoritma ise, engebeli dağlık araziler ya da ağaçların karışık dal sistemleri gibi karmaşık, çok düzensiz doğal cisimlerin gerçektekine benzer görüntülerinin oluşturulabilmesini olanaklı kılmıştır.

FRAKTAL NASIL OLUŞTURULUR?
Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş ya da büyütülmüşleri ile inşa edilen örüntüler fraktal olarak adlandırılır. Fraktalın bir özelliği de, küçük bir parçasındaki örüntünün şeklin tamamındaki örüntüyle aynı olmasıdır.

Fraktallar ve Örüntüler Arasındaki Fark

Fraktal ve örüntü arasındaki ilişki şöyledir:

Her fraktal bir örüntüdür ancak her örüntü bir fraktal değildir.

Bir örüntünün fraktal olabilmesi için:

  1. Öncelikle örüntü olabilmesi için bir kurala göre ilerlemesi gerekir.
  2. Örüntünün büyümesi veya küçülmesi gerekir.
  3. Bir önceki şekli içinde barındırması gerekir.

FRAKTAL ÖRNEKLERİ
Şimdi hangi örüntülerin niçin fraktal olduğunu veya neden fraktal olmadığını örnek resimlerle inceleyelim.

ÖRNEK 1: Aşağıdaki şekilde K harfi %50 küçültülerek şekle eklenmiş ve bir fraktal oluşturulmuştur. Dikkat edilirse her adım bir önceki adımı içinde barındırmaktadır.

ÖRNEK 2 : Aşağıdaki örüntüde eşkenar üçgen küçültülerek yeni adımlar oluşturulmuştur. Bu örüntü de bir fraktaldır.

ÖRNEK 3 : Aşağıdaki şekiller belirli bir kurala göre dizildikleri için örüntüdür ancak fraktal olabilmesi için aynı şeklin büyültülmüşü veya küçültülmüşü kullanılması gerekir. Bu yüzden bu örüntü fraktal değildir.

ÖRNEK 4 : Aşağıdaki şekiller belirli bir kurala göre dizildikleri için örüntüdür ancak fraktal olabilmesi için aynı şeklin büyültülmüşü veya küçültülmüşü kullanılması gerekir. Bu yüzden bu örüntü fraktal değildir.

FRAKTAL SORULARI NASIL ÇÖZÜLÜR?
Fraktal soruları genelde iki şekilde sorulur:

1. Soru Tipi: Örüntülerin fraktal olup olmadığı sorulur. Bu sorularda dikkat edilmesi gereken şeklin büyütülmüş veya küçültülmüşünün kullanılması ve örüntünün bir adımının bir önceki adımını içeriyor olmasıdır.

2. Soru Tipi: Fraktalın herhangi bir adımında kullanılan şekil sayısı sorulur. Bu tip sorularda ise kullanılan şekilleri tek tek saymaktan ziyade bir önceki şekile göre ne kadar arttığını bulmak kolaylık sağlar. Bu şekilde bir sayı örüntüsü yakalanabilir. Örnek verecek olursak yukarıdaki K harfi fraktal sorusuna bakalım.

1. Adım: 1

2. Adım: 1+2

3. Adım: 1+2+4

3. Adım: 1+2+4+8

Buradan her adımda 2’nin kuvvetleri şeklinde arttığını görürüz.

FRAKTAL RESİMLERİ İÇİN TIKLAYINIZ!

Fraktallar sadece geometride oluşturduğumuz şekiller değildir. Doğada da fraktal örnekleri mevcuttur.


Yorumlar (2)
Halis 5 yıl önce
Çok ilginç bilmiyordum...
Gülten 2 yıl önce
Bu tür görselleri görüyordum ama Fraktal dendiğini ilk defa duydum.
12°
açık
Günün Anketi Tümü
En Çok Sevdiğiniz Renk Hangisi?
Namaz Vakti 10 Nisan 2020
İmsak 05:46
Güneş 07:10
Öğle 13:18
İkindi 16:37
Akşam 19:16
Yatsı 20:35
Puan Durumu
Takımlar O P
1. Trabzonspor 26 53
2. Başakşehir 26 53
3. Galatasaray 26 50
4. Sivasspor 26 49
5. Beşiktaş 26 44
6. Alanyaspor 26 43
7. Fenerbahçe 26 40
8. Göztepe 26 37
9. Gaziantep FK 26 32
10. Denizlispor 26 31
11. Antalyaspor 26 30
12. Gençlerbirliği 26 28
13. Kasımpaşa 26 26
14. Konyaspor 26 26
15. Malatyaspor 26 25
16. Çaykur Rizespor 26 25
17. Ankaragücü 26 23
18. Kayserispor 26 22
Takımlar O P
1. Hatayspor 28 53
2. Erzurum BB 28 47
3. Bursaspor 28 46
4. Adana Demirspor 28 45
5. Akhisar Bld.Spor 28 45
6. Fatih Karagümrük 28 43
7. Altay 28 43
8. Ümraniye 28 40
9. Giresunspor 27 38
10. Keçiörengücü 28 35
11. Balıkesirspor 28 35
12. Menemen Belediyespor 28 35
13. İstanbulspor 27 33
14. Altınordu 28 31
15. Boluspor 28 25
16. Osmanlıspor 28 24
17. Adanaspor 28 20
18. Eskişehirspor 28 17
Takımlar O P
1. Liverpool 29 82
2. Man City 28 57
3. Leicester City 29 53
4. Chelsea 29 48
5. M. United 29 45
6. Wolverhampton 29 43
7. Sheffield United 28 43
8. Tottenham 29 41
9. Arsenal 28 40
10. Burnley 29 39
11. Crystal Palace 29 39
12. Everton 29 37
13. Newcastle 29 35
14. Southampton 29 34
15. Brighton 29 29
16. West Ham 29 27
17. Watford 29 27
18. Bournemouth 29 27
19. Aston Villa 28 25
20. Norwich City 29 21
Takımlar O P
1. Barcelona 27 58
2. Real Madrid 27 56
3. Sevilla 27 47
4. Real Sociedad 27 46
5. Getafe 27 46
6. Atletico Madrid 27 45
7. Valencia 27 42
8. Villarreal 27 38
9. Granada 27 38
10. Athletic Bilbao 27 37
11. Osasuna 27 34
12. Real Betis 27 33
13. Levante 27 33
14. Deportivo Alaves 27 32
15. Real Valladolid 27 29
16. Eibar 27 27
17. Celta de Vigo 27 26
18. Mallorca 27 25
19. Leganés 27 23
20. Espanyol 27 20